音乐中的数学

本书从音乐理论和实践中提出的若干问题出发，介绍音乐背后的数学知识，用这些数学的结果来揭示音乐现象背后的道理。例如从钢琴调音引出的与律制相关的数学知识。又如，不同乐器的音色是不同的，其原因涉及振动方程的解，而这个解就对应着音乐中非常重要的“泛音列”概念，它和古琴的徽位、呼麦的发声原理等都有着直接的联系。再如，旋律中的对称是其变化和发展的一个重要手段，而要描述和研究这些对称，就不可避免地要引入数学中的群论。此外，书中提到了许多音乐家和科学家、数学家，介绍了他们对于音乐与数学的看法和论述，也涉及一些他们鲜为人知的故事。

本书适合广大具有高中及以上文化程度的读者阅读，也可作为大、中学校通识教育或者素质教育相关课程的参考书。

王杰，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。多年从事群论、代数图论和密码学的教学科研。自2017年起开设面向全校的“音乐与数学”，被遴选为北京大学通识教育核心课程，同名教材已由北京大学出版社出版。

前言/i

1音乐与数学/1

2.1三分损益·五度相生/11

2.2纯律/192如何给钢琴调音？/8

2.3平均律/23

2.4音乐中的准与不准/29

3.1振动方程与泛音列/33

3.2音色与泛音列/413弦外之音/33

3.3徽位与呼麦/45

4.1旋律的对称/55

4.2音类空间上的变换群/644旋律的几何/54

4.3勋伯格和他的十二音技术/81

4.4音列与对称/90

尾声/98

参考文献/100