数理启蒙

本书共6章，分别研究不同学科，如：乐理、微积分、线性代数、概率论、向量分解、数理统计。每章内容都从基础开始，系统构建相应学科的整体框架，拒绝符号和数学形式化语言，通俗易懂，注重自然直觉和底层逻辑。本书非应试教材，摒弃了结论优先的叙述流程，但并没有降低叙事效率，反而让初学者能触类旁通。无论你是中学生还是大学生都可以轻松看懂。看完本书再去看相关教材，你就会发现，从任何一页开始看，都能看懂。

第1章 乐理：音乐中的数学 1
【第一节】两种自然直觉 1
【第二节】声音的本质 2
【第三节】噪音与乐音的区别 3
【第四节】我们为什么可以轻松分辨钢琴与吉他的声音 4
【第五节】音符的音高是怎样确定下来的 5
【第六节】十二平均律 10
【第七节】国际音高标准 12
【第八节】乐谱 14
第2章 微积分：神奇的计算方法 16
【第一节】微积分的本质 16
【第二节】求曲边图形的面积 18
【第三节】求曲线的切线 29
【第四节】趋于无穷大与趋于无穷小的区别 35
【第五节】位移函数与速度函数 38
【第六节】微分与积分 41
【第七节】结束语 50
第3章 线性代数：数值的加减乘除 52
【第一节】线性代数的本质 52
【第二节】一次函数y=kx+b 54
【第三节】二维线性函数 58
【第四节】三维线性函数 64
【第五节】任意维线性函数 67
【第六节】函数与变换 68
【第七节】复合函数g(f(x)) 72
【第八节】行列式和特征值 78
【第九节】两个向量的夹角 85
【第十节】结束语 89
第4章 概率论：构建概率的数学模型 92
【第一节】公理体系 92
【第二节】概率论的公理 94
【第三节】概率论的数学模型 95
【第四节】一个随机试验的例子 98
【第五节】数学模型是确定的 99
【第六节】样本点数值化 99
【第七节】随机变量的数值特点 103
【第八节】点、长度、面积、体积 108
【第九节】概率分布 110
【第十节】正态分布 122
【第十一节】常见的几种分布 127
【第十二节】伽马函数 135
【第十三节】样本点集合化 140
第5章 向量分解：可视化概率中的计算 142
【第一节】向量与点积 142
【第二节】向量分解 144
【第三节】向量分解实例 150
【第四节】数学名词 154
【第五节】多个点的共线问题 155
【第六节】统计学“鸟枪换炮” 165
【第七节】散点的整体走向 172
【第八节】多个点的对称排列实验小节 180
【第九节】维度的互不干扰 190
【第十节】向量与概率 192
【第十一节】二维随机变量可视化 194
【第十二节】相互独立的好处 197
第6章 数理统计：一组数值里的信息 206
【第一节】数理统计的讲解思路 206
【第二节】数据的不同数学形式 206
【第三节】总体和样本 209
【第四节】对样本再构造 214
【第五节】样本值的方差 220
【第六节】标准正态分布 225
【第七节】卡方分布 232
【第八节】样本方差与样本卡方的区别 238
【第九节】t分布 241
【第十节】两个实例 247
【第十一节】F分布 252
【第十二节】决策原则 259