陶哲轩实分析（第4版）

菲尔兹奖得主×国际数学奥林匹克竞赛金牌 陶哲轩
加州大学洛杉矶分校教材

沉浸式体验“数学天才”的思考方式
手把手教你写证明
通过精心设计的例题与练习，养成敏锐的数学直觉

实分析被普遍认为是一门难度很大的课程，学生往往会感到挣扎：
× 基础薄弱，存在知识鸿沟
× 规范数学的证明要求严格，难以适应
× 抽象概念缺乏动机

为了应对这些困扰，本书给出了行之有效的学习方案：
√ 从简单的自然数开始，低起点建立数学大厦
√ 在预备阶段，提前训练严格的逻辑思维，轻松过渡到高难度证明
√ “不厌其烦”地讲解各种数学处理的前因后果，脉络清晰可循

本书采用一种不同寻常的方法介绍数学分析，以展现数学证明的精妙之处。从构造数系和集合论等基础知识开始，覆盖级数、连续性、可微性、黎曼积分等重要内容，并逐渐深入到多元微积分、傅里叶分析、勒贝格积分等高等主题，叙述清晰，示例丰富，结合了严格性和直观性。本书在附录部分还讲解了数理逻辑基础和十进制，书中的习题和正文密切相关，有利于读者掌握所学的知识。

陶哲轩（Terence Tao），1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。13岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌，2006年获得菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本·格林（Ben Green）合作研究与“孪生质数”相关的猜想，破解了埃尔德什差异问题。在调和分析、偏微分方程、组合学、解析数论、概率论等多个重要领域都取得了卓越成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思维科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》由人民邮电出版社出版。

第 一部分 1
第 1章 引言 3
1.1 什么是分析 3
1.2 为什么要做分析 4
第 2章 从头开始：自然数 12
2.1 佩亚诺公理 13
2.2 加法 21
2.3 乘法 25
第3章 集合论 29
3.1 基础知识 29
3.2 罗素悖论（选学） 40
3.3 函数 42
3.4 象和逆象 49
3.5 笛卡儿积 54
3.6 集合的基数 59
第4章 整数和有理数 65
4.1 整数 65
4.2 有理数 71
4.3 绝对值和指数运算 75
4.4 有理数中的间隙 78
第5章 实数 82
5.1 柯西序列 83
5.2 等价的柯西序列 87
5.3 实数的构造 89
5.4 对实数排序 96
5.5 最小上界性质 101
5.6 实数的指数运算（第I 部分） 105
第6章 序列的极限 109
6.1 收敛和极限定律 109
6.2 广义实数系 114
6.3 序列的上确界和下确界 117
6.4 上极限、下极限和极限点 119
6.5 一些基本的极限 126
6.6 子序列 127
6.7 实数的指数运算（第II 部分） 130
第7章 级数 133
7.1 有限级数 133
7.2 无穷级数 141
7.3 非负数的和 145
7.4 级数的重排列 148
7.5 根值判别法和比值判别法 151
第8章 无限集 155
8.1 可数性 155
8.2 在无限集上求和 161
8.3 不可数集 166
8.4 选择公理 169
8.5 有序集 172
第9章 R上的连续函数 179
9.1 实直线的子集 179
9.2 实值函数的代数 184
9.3 函数的极限值 186
9.4 连续函数 192
9.5 左极限和右极限 196
9.6 最大值原理 198
9.7 介值定理 201
9.8 单调函数 203
9.9 一致连续性 205
9.10 在无限处的极限 210
第 10章 函数的微分 212
10.1 基本定义 212
10.2 局部最大值、局部最小值及导数 217
10.3 单调函数及其导数 219
10.4 反函数及其导数 220
10.5 洛必达法则 222
第 11章 黎曼积分 225
11.1 划分 225
11.2 分段常数函数 229
11.3 黎曼上积分和黎曼下积分 232
11.4 黎曼积分的基本性质 235
11.5 连续函数的黎曼可积性 240
11.6 单调函数的黎曼可积性 243
11.7 非黎曼可积的函数 244
11.8 黎曼–斯蒂尔切斯积分 245
11.9 微积分的两个基本定理 248
11.10 基本定理的推论 252
第二部分 257
第 12章 度量空间 259
12.1 定义和例子 259
12.2 度量空间中的一些点集拓扑知识 266
12.3 相对拓扑 270
12.4 柯西序列和完备度量空间 272
12.5 紧度量空间 275
第 13章 度量空间上的连续函数 280
13.1 连续函数 280
13.2 连续性和积空间 282
13.3 连续性和紧性 285
13.4 连续性和连通性 287
13.5 拓扑空间（选学） 289
第 14章 一致收敛 294
14.1 函数的极限值 294
14.2 逐点收敛和一致收敛 297
14.3 一致收敛性和连续性 300
14.4 一致收敛的度量 302
14.5 函数级数和魏尔斯特拉斯判别法 304
14.6 一致收敛和积分 306
14.7 一致收敛和导数 308
14.8 用多项式一致逼近 311
第 15章 幂级数 318
15.1 形式幂级数 318
15.2 实解析函数 320
15.3 阿贝尔定理 324
15.4 幂级数的乘法 327
15.5 指数函数和对数函数 329
15.6 说一说复数 332
15.7 三角函数 338
第 16章 傅里叶级数 343
16.1 周期函数 344
16.2 周期函数的内积 345
16.3 三角多项式 348
16.4 周期卷积 350
16.5 傅里叶定理和普朗歇尔定理 354
第 17章 多元微分学 359
17.1 线性变换 359
17.2 多元微积分中的导数 364
17.3 偏导数和方向导数 367
17.4 多元微积分链式法则 373
17.5 二阶导数和克莱罗定理 375
17.6 压缩映射定理 377
17.7 多元微积分的反函数定理 379
17.8 隐函数定理 383
第 18章 勒贝格测度 388
18.1 目标：勒贝格测度 389
18.2 第 一步：外测度 391
18.3 外测度是不可加的 397
18.4 可测集 400
18.5 可测函数 405
第 19章 勒贝格积分 408
19.1 简单函数 408
19.2 非负可测函数的积分 412
19.3 绝对可积函数的积分 418
19.4 与黎曼积分的比较 422
19.5 富比尼定理 423
附录A 数理逻辑基础 429
A.1 数学命题 429
A.2 蕴涵关系 433
A.3 证明的结构 436
A.4 变量与量词 438
A.5 嵌套量词 441
A.6 关于证明和量词的一些例子 443
A.7 相等 444
附录B 十进制 446
B.1 自然数的十进制表示 446
B.2 实数的十进制表示 449
人名索引 453
术语索引 455